INTEGRAL
A. INTEGRAL TENTU DAN INTEGRAL TAK TENTU
Integral adalah kebalikan dari turunan (diferensial). Oleh
karena itu integral disebut juga anti diferensial. Ada 2 macam integral, yaitu
integral tentu dan integral tak tentu. Integral tentu yaitu integral yang
nilainya tertentu, sedangkan integral tak tentu, yaitu integral yang nilainya
tak tentu. Pada integral tentu ada batas bawah dan batas atas yang nanti
berguna untuk menentukan nilai integral tersebut. Kegunaan integral dalam
kehidupan sehari-hari banyak sekali, diantaranya menentukan luas suatu bidang,
menentukan voluem benda putar, menentukan panjang busur dan sebagainya.
Integral tidak hanya dipergunakan di matematika saja. Banyak bidang lain yang
menggunakan integral, seperti ekonomi, fisika, biologi, teknik dan masih banyak
lagi disiplin ilmu yang lain yang mempergunakannya.
1. INTEGRAL
TAK TENTU
Karena integral merupakan
kebalikan (invers) dari turunan, maka untuk menemukan rumus integral kita
beranjak dari turunan. Turunan suatu fungsi y = f(x) adalah y ‘ = f ‘ (x) atau , sedangkan notasi integral dari suatu fungsi y = f(x) adalah
yang dibaca “ integral
y terhadap x ”.
Turunan suatu fungsi
konstan adalah 0 atau integral 0 adalah suatu fungsi konstan, biasanya diwakili
oleh notasi c.
Rumus umum integral dari adalah atau ditulis :
untuk
Contoh 1 : Tentukan
:
Jawab :
LATIHAN SOAL
1. Integralkan !
2. PEMAKAIAN
INTEGRAL TAK TENTU
Pada integral tak tentu terdapat nilai konstanta c
yang tidak tentu nilainya. Untuk menentukan fungsi f dari suatu fungsi turunan,
maka harus ada data yang lain sehingga harga c dapat diketahui.
Contoh 1
: Diketahui f ‘(x) = 5x – 3
dan f(2) = 18. Tentukan f(x) !
Jawab : …….
Contoh
2 : Jika gradien garis singgung di titik
(x,y) pada sebuah kurva yang melalui titik (3,4) ditentukan , maka tentukan persamaan kurva tersebut !
Jawab : ………
LATIHAN SOAL
1. Tentukan rumus
f(x) jika diketahui :
- f ‘(x) = 2x dan f(4) = 10
- f ‘(x) = 8x – 3 dan f(-1) = 10
- f ‘(x) = dan f(1) =
- f ‘(x) = x - dan f(4) = -3
- f ‘(x) = 1 - dan f(4) = 1
2. Diketahui titik
(3,2) terletak pada kurva dan gradien garis singgung di titik (x,y) pada kurva
tersebut didefinisikan 2x – 3. Tentukan persamaan kurva tersebut !
3. Gradien suatu
kurva pada setiap titik (x,y) ditentukan oleh dan kurva itu melalui
titik (-3,2). Tentukan persamaan kurva itu !
4. Kecepatan suatu
benda bergerak dinyatakan oleh . Setelah benda itu bergerak 1 detik, jarak yang ditempuh 4
m. Tentukan persamaan gerak dari benda itu !
5. Diketahui rumus
percepatan a(t)= dan kecepatan v(0) =
6. Tentukanlah rumus kecepatan v(t) jika a(t)=
3. INTEGRAL
TENTU
Perhatikan
gambar di bawah ini :
Y
Y = f(x)
P Q
R S
f(x) f(x+h)
T h
U X
0 a x
x+h b
Luas
daerah dari x = a hingga x = b adalah
L(b) – L(a) ….. (1)
Luas
RSUT Luas RQUT Luas PQUT
h.f(x)
L(x+h) – L(x) h.f(x+h)
Untuk
h 0 maka :
f(x) f(x+h)
Dari
(1) maka :
Jadi
:
Contoh 1 : Hitunglah
Jawab : ………..
LATIHAN SOAL
1. Tentukan nilai
integral di bawah ini :
2. Tentukan nilai
a jika diketahui :
3. Tentukan a jika
4. Tunjukkan
dengan arsiran, luas daerah yang dinyatakan dengan integral berikut :
4. INTEGRAL
FUNGSI TRIGONOMETRI
Kita telah
mempelajari turunan fungsi trigonometri yang secara ringkas dapat digambarkan
sebagai berikut :
artinya turunan.
Pada integral
jangan lupa selalu menambahkan konstanta c.
Contoh 1 : Tentukan
:
Jawab : ………….
LATIHAN
SOAL
1. Tentukan
integral fungsi berikut !
2. Tentukan nilai
integral berikut ini :
5. INTEGRAL
DENGAN SUBSTITUSI
Cara menentukan integral
dengan menggunakan cara substitusi-1 yaitu dengan mengubah bentuk integral
tersebut ke bentuk lain dengan notasi lain yang lebih sederhana sehingga mudah
menyelesaikannya. Cara ini digunakan jika bagian yang satu ada kaitan turunan
dari bagian yang lain.
Contoh 1 : Tentukan integral dari :
Jawab : a. Misal maka 8x dx = du atau
2x dx = du
b. Misal sin x = u maka cos x dx = du atau 2 cos x
dx = 2 du
LATIHAN
SOAL
Tentukan integral dari fungsi –fungsi
berikut dengan menggunakan metode substitusi !
6. INTEGRAL
PARSIAL
Bagaimana jika
dua bagian pada suatu integral tidak ada kaitan turunan antara bagian yang satu
dengan bagian lainnya ? Untuk itu perlu ada cara lain untuk menyelesaikannya
yaitu dengan integral parsial.
Seperti telah kita
ketahui pada turunan jika y = uv maka y ‘ =u ’ v + uv ’. Jika kita integralkan
kedua rua, maka akan didapat :
Rumus di atas
sering disingkat dengan :
Contoh 1 : Tentukan :
Jawab : a.
Misal 2x = u maka 2 dx = du
Misal dv =
b. Misal x = u maka dx = du
Misal dv =
sin x dx maka v = -cos x
LATIHAN
SOAL
Tentukan integral berikut dengan metode
parsial !
B. LUAS DAN VOLUME BENDA PUTAR
1. DAERAH
ANTARA BEBERAPA KURVA
Daerah antara dua kurva yaitu daerah yang dibatasi
oleh dua kurva tersebut dengan selang batas tertentu. Selang batas tersebut
bisa batas yang ditentukan atau titik potong kedua kurva tersebut.
Contoh
1 : Lukislah daerah antara garis y = x dan kurva !
Jawab : Y
0 X
Contoh
2 : Lukislah daerah antara kurva dan pada selang !
Jawab
: Y
0 X
LATIHAN SOAL
Lukislah
daerah antara beberapa kurva di bawah ini :
2. LUAS
DAERAH ANTARA KURVA DAN SUMBU KOORDINAT
Luas daerah antara kurva y
= f(x) dengan sumbu koordinat X pada selang dimana daerahnya ada
di atas sumbu X adalah :
Jika daerahnya ada di
bawah sumbu X, maka untuk menghindari luas yang negatif harganya, maka
Begitupun untuk daerah
dengan batas sumbu koordinat Y, yaitu :
Contoh
1 : Tentukan luas daerah antara kurva y
= , sumbu X , x = -1 dan x = 1 !
Jawab
: Y
-1 0 X
1
satuan luas.
LATIHAN SOAL
Tentukan
luas daerah yang diarsir pada gambar di
bawah ini :
a. Y b. Y
y = x + 2
y =
2
X
X
-2
0 2
0 3
Y
y =
c.
-4 X
4
Tentukan
luas daerah antara kurva berikut dan sumbu koordinat atau garis yang ditentukan
:
- , sumbu X, x = -2 dan x = 3
- , sumbu X, x = 0 dan x = 2
- dan sumbu X
- , sumbu X dan x = 4
- , sumbu X, x = -1 dan x = 3
- , sumbu X, x = 1 dan x = 4
Tentukan
luas daerah yang dibatasi oleh kurva , sumbu X, x = -1 dan
x = 3
3. LUAS
ANTARA DUA KURVA
Untuk menentukan luas
daerah antara dua kurva, kita berdasarkan luas antara kurva dan sumbu
koordinat.
Perhatikan gambar di bawah
ini :
Y y = f(x)
y = g(x)
0
a b X
Luas
daerah yang diarsir adalah :
Contoh 1: Tentukan luas daerah antara kurva
dan y = 2x + 2 !
Jawab
: Titik potong kedua kurva yaitu :
Y
-2 1
0 X
satuan luas.
LATIHAN SOAL
1. Hitunglah luas
daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini :
a. b.
Y y = 2x y = Y
Y = x
X
X
0 2
0 1
y = x
2. Hitunglah luas
daerah yang dibatasi oleh dua kurva berikut :
4. VOLUME
BENDA PUTAR
4.1 VOLUME BENDA PUTAR ANTARA KURVA DAN
SUMBU KOORDINAT
Y
y = f(x)
0 X
a b
Volume benda putar yang dibatasi oleh
kurva y = f(x), x = a, x = b dan sumbu X yang diputar sejauh mengelilingi sumbu X
adalah :
Begitu juga pada kurva x = f(y) yang
diputar mengelilingi sumbu Y sejauh dan dibatasi oleh y =
a, y = b, sumbu Y dan kurva itu sendiri maka volumenya :
Contoh
1 : Tentukan volume benda putar yang
terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva , sumbu X dan garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu X sejauh
!
Jawab : Y
0 2 X
satuan volume.
LATIHAN SOAL
1. Pada gambar di
bawah ini, hitunglah volume benda putarnya jika diputar mengelilingi sumbu X
sejauh !
a. Y b. Y
y = x
+ 2
Y=
2
X
X
-2
0
2
0 3
2. Hitunglah
volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva yang
diketahui diputar mengelilingi sumbu X sejauh !
- y = x, x = 1 dan x = 10
- y = , sumbu X, sumbu Y dan x = 6
- y = , sumbu X, sumbu Y dan x = 9
- y = , x = 0 dan x = 1
- y = , sumbu X, x = -3 dan x = 3
3. Hitunglah
volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva yang
diketahui diputar mengelilingi sumbu Y sejauh !
- y = x dan y = 6
- y = dan y = 1
- y = , y = 0 dan y = 1
Quiss :
1. Tentukan rumus
volume kerucut dari persamaan garis y
= yang diputar
mengelilingi sumbu X sejauh
2. Tentukan rumus
volume bola dari persamaan
seperempat lingkaran yang diputar
mengelilingi sumbu X sejauh
4.2
VOLUME BENDA PUTAR ANTARA DUA KURVA
y y = f(x)
y = g(x)
0 a b X
Volume benda putar yang diputar
mengelilingi sumbu X sejauh yang dibatasi oleh
kurva y = f(x), y = g(x), x = a dan x = b adalah :
dimana
Begitupun
untuk benda putar yang diputar mengelilingi sumbu Y.
Contoh
1: Hitunglah isi benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva dan y = 2x diputar
mengelilingi sumbu X sejauh !
Jawab :
LATIHAN SOAL
1. Hitunglah
volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh dua kurva
diputar sejauh mengelilingi sumbu
koordinat yang disebutkan !
- y = x dan y = mengelilingi sumbu X
- y = dan mengelilingi sumbu Y
- y = , y = , mengelilingi sumbu Y
- y = dan y = mengelilingi sumbu X
- y = dan y = mengelilingi sumbu X
- y = dan y = mengelilingi sumbu X
Tidak ada komentar:
Posting Komentar